テイラーの公式（ラグランジュの剰余項）
ロルの定理から直接示す方法
1. 定理
関数 \(f\) が開区間 \(I\) において \(n\) 回微分可能であるとする．
\(a\in I\) を固定し，\(x\in I-\{a\}\) とする．
このとき，\(a\) と \(x\) の間にある数 \(\xi\) が存在して，
\[
f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\cdots+
\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}
+\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n
\]
が成り立つ．
2. 証明：定数 K を定める
定数 \(K\) を
\begin{equation}
f(x)-\left\{
f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\cdots+
\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}
+\frac{K}{n!}(x-a)^n
\right\}=0
\tag{1}
\end{equation}
を満たすように定める．実際，これは \(x\ne a\) だから可能である．
3. 補助関数 F(t)
次に，補助関数 \(F(t)\) を
\begin{equation}
F(t)=f(x)-\left\{
f(t)+\frac{f'(t)}{1!}(x-t)+\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+
\cdots+
\frac{f^{(n-1)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}
+\frac{K}{n!}(x-t)^n
\right\}
\tag{2}
\end{equation}
\(F(t)\) は，\(a\) と \(x\) を端点とする閉区間で連続であり，その内部で微分可能である．
4. ロルの定理を用いる
式 \((1)\) より \(F(a)=0\) である．
また式 \((2)\) に \(t=x\) を代入すると，\((x-t)\) を含む項はすべて \(0\) となるので，\(F(x)=0\) である．
よって
\[
F(a)=F(x)
\]
したがってロルの定理により，\(a\) と \(x\) の間にある数 \(c\) が存在して，
\[
F'(c)=0
\]
となる．
5. F(t) の微分
一方，\(F(t)\) を \(t\) で微分すると，
\begin{align*}
F'(t)
&=-\Biggl[
f'(t)
+\{f''(t)(x-t)-f'(t)\} \\
&\quad +\frac{1}{2!}\{f^{(3)}(t)(x-t)^2-2f''(t)(x-t)\} \\
&\quad +\cdots \\
&\quad +\frac{1}{(n-1)!}
\{f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}-(n-1)f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-2}\} \\
&\quad -\frac{K}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}
\Biggr].
\end{align*}
6. 項の打ち消し
途中の項は順に打ち消し合う．表示を切り替えて確認する．
\begin{align*}
F'(t)
&=-\Biggl[
f'(t)+\{f''(t)(x-t)-f'(t)\} \\
&\quad +\frac{1}{2!}\{f^{(3)}(t)(x-t)^2-2f''(t)(x-t)\} \\
&\quad +\cdots \\
&\quad +\frac{1}{(n-1)!}
\{f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}-(n-1)f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-2}\} \\
&\quad -\frac{K}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}
\Biggr].
\end{align*}
\begin{align*}
F'(t)
&=-\Biggl[
\color{red}{f'(t)}+
\{\color{blue}{f''(t)(x-t)}-\color{red}{f'(t)}\} \\
&\quad +\frac{1}{2!}
\{\color{green}{f^{(3)}(t)(x-t)^2}-2\color{blue}{f''(t)(x-t)}\} \\
&\quad +\cdots \\
&\quad +\frac{1}{(n-1)!}
\{\color{purple}{f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}}
-(n-1)\color{orange}{f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-2}}\} \\
&\quad -\frac{K}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}
\Biggr].
\end{align*}
同じ色の項が，次の項の微分で符号を変えて現れる．
\begin{align*}
F'(t)
&=-\Biggl[
\cancel{f'(t)}+
\{f''(t)(x-t)-\cancel{f'(t)}\} \\
&\quad +\frac{1}{2!}
\{f^{(3)}(t)(x-t)^2-2\cancel{f''(t)(x-t)}\} \\
&\quad +\cdots \\
&\quad +\frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}
-\frac{K}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}
\Biggr] \\
&=-\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\{f^{(n)}(t)-K\}.
\end{align*}
7. 結論
ロルの定理で得た \(c\) に対して \(F'(c)=0\) であるから，
\[
-\frac{(x-c)^{n-1}}{(n-1)!}\{f^{(n)}(c)-K\}=0
\]
\(c\) は \(a\) と \(x\) の間にあるので \(c\ne x\) である．
したがって \((x-c)^{n-1}\ne0\) であり，
\[
K=f^{(n)}(c)
\]
これを式 \((1)\) に代入すれば，
\[
f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\cdots+
\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}
+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n
\]
が得られる．ここで \(c\) を \(\xi\) と書けば，定理が示された．